On primitive integer solutions of the Diophantine equation t2=G(x,y,z)t^2=G(x,y,z) and related results

In this paper we investigate Diophantine equations of the form $T^2=G(\overline{X}),\; \overline{X}=(X_{1},\ldots,X_{m})$, where $m=3$ or $m=4$ and $G$ is specific homogenous quintic form. First, we prove that if $F(x,y,z)=x^2+y^2+az^2+bxy+cyz+dxz\in\Z[x,y,z]$ and $(b-2,4a-d^2,d)\neq (0,0,0)$, then the Diophantine equation $t^2=nxyzF(x,y,z)$ has solution in polynomials $x, y, z, t$ with integer coefficients, without polynomial common factor of positive degree. In case $a=d=0, b=2$ we prove that there are infinitely many primitive integer solutions of the Diophantine equation under consideration. As an application of our result we prove that for each n\in\Q\setminus\{0\} the Diophantine equation \begin{equation*} T^2=n(X_{1}^5+X_{2}^5+X_{3}^5+X_{4}^5) \end{equation*} has a solution in co-prime (non-homogenous) polynomials in two variables with integer coefficients. We also present a method which sometimes allow us to prove the existence of primitive integers solutions of more general quintic Diophantine equation of the form $T^2=aX_{1}^5+bX_{2}^5+cX_{3}^5+dX_{4}^5$, where $a, b, c, d\in\Z$. In particular, we prove that for each $m, n\in\Z\setminus\{0\},$ the Diophantine equation \begin{equation*} T^2=m(X_{1}^5-X_{2}^5)+n^2(X_{3}^5-X_{4}^5) \end{equation*} has a solution in polynomials which are co-prime over $\Z[t]$. Moreover, we show how modification of the presented method can be used in order to prove that for each n\in\Q\setminus\{0\}, the Diophantine equation \begin{equation*} t^2=n(X_{1}^5+X_{2}^5-2X_{3}^5) \end{equation*} has a solution in polynomials which are co-prime over $\Z[t]$.Comment: 17 pages, submitte

A note on the arithmetic properties of Stern Polynomials

We investigate the Stern polynomials defined by $B_0 ( t ) =0,B_1 ( t ) =1$, and for $n \geq 2$ by the recurrence relations $B_{2n}( t) =tB_{n}( t) ,$ $B_{2n+1}( t) =B_n( t) +B_{n+1}( t)$. We prove that all possible rational roots of that polynomials are $0,-1,-1/2,-1/3$. We give complete characterization of $n$ such that $deg( B_n) = deg( B_{n+1})$ and $deg( B_n) =deg( B_{n+1}) =deg( B_{n+2})$. Moreover, we present some result concerning reciprocal Stern polynomials.Comment: 9 pages, submitte

<Book Review> Yamanoi Kazunori, How does the politics change the social security

WSTĘP. Celem pracy była ocena wpływu otyłości oraz cukrzycy typu 2 na przerost lewej komory serca u pacjentów z nadciśnieniem tętniczym. MATERIAŁ I METODY. Badaniem objęto grupę 554 osób z nadciśnieniem tętniczym (62% mężczyzn, 38% kobiet) oraz 97 osób z nadciśnieniem tętniczym i cukrzycą typu 2 (61% mężczyzn, 39% kobiet). Średni wiek w obu grupach wynosił 53 &#177; 13 lat v. 58 &#177; 8 lat. U wszystkich badanych wykonano echokardiografię, dwukrotny pomiar ciśnienia tętniczego, mierzono obwód talii i bioder oraz określano wskaźnik masy ciała (BMI). WYNIKI. Masa lewej komory (LVM) oraz wskaźnik masy lewej komory serca (LVMI) były istotnie wyższe w grupie osób z nadciśnieniem tętniczym i cukrzycą typu 2 w porównaniu z grupą osób bez cukrzycy, wynosiły one odpowiednio: LVM &#8212; 280,6 &#177; 67,4 g v. 247,3 &#177; 74,8 g, p < 0,0001; LVMI &#8212; 145,2 &#177; 33 g/ /m2 v. 129,9 &#177; 36 g/m2, p < 0,0001. W przypadku osób z nadciśnieniem tętniczym nieobciążonych cukrzycą wykazano dodatnią korelację BMI z LVMI (r = 0,17, p < 0,0001), zarówno wśród mężczyzn, jak i kobiet. W przypadku wskaźnika talia/biodro wykazano dodatnią korelację z LVMI tylko w grupie kobiet (r = 0,26, p < 0,0001). U pacjentów ze współistniejącą cukrzycą typu 2 nie stwierdzono związku BMI oraz wskaźnika talia/biodro z przerostem lewej komory serca. WNIOSKI. Czynnikami zwiększającymi ryzyko przerostu lewej komory serca wśród osób z nadciśnieniem tętniczym są wysoki wskaźnik masy ciała oraz otyłość brzuszna w przypadku kobiet. Pacjenci ze współistniejącą cukrzycą typu 2 cechują się bardziej zaznaczonym przerostem lewej komory serca. (Diabet. Prakt. 2011, tom 12, nr 4, 134&#8211;141)INTRODUCTION. The aim of this study was to assess the influence of obesity and diabetes mellitus on left ventricular hypertrophy in patients with arterial hypertension. MATERIAL AND METHODS. Study population consisted of 554 patients with hypertension (62% men, 38% women), and 97 patients with hypertension and concomitant diabetes mellitus (DM) (61% men, 39% women). The mean age in these two groups was 53 &#177; 13 years v. 58 &#177; 8 years respectively. We performed echocardiography as well as blood pressure (twice) and waist and hip circumference measurements. Body mass index (BMI) was assessed. RESULTS. Left ventricular mass (LVM) and left ventricular mass index (LVMI) were significantly higher in the group with hypertension and concomitant DM than in the group without DM, LVM &#8212; 280.6 &#177; 67.4 g v. 247.3 &#177; 74.8 g, p < 0.0001, LVMI &#8212; 145.2 &#177; 33 g/m2 v. 129.9 &#177; 36 g/m2, p < < 0.0001. In patients with hypertension without DM, BMI positively correlated with LVMI (r = 0.17, p < < 0,0001) in men and in women. Waist/hip ratio positively correlated with LVMI in women (r = 0.26, p < 0.0001). In the group of patients with concomitant DM, BMI and waist/hip ratio didn&#8217;t correlate with left ventricular hypertrophy. CONCLUSIONS. Higher body mass index and abdominal obesity in women are risk factors for left ventricular hypertrophy. Left ventricular hypertrophy is more prevalent in the group with concomitant DM. (Diabet. Prakt. 2011, vol. 12, no 4, 134&#8211;141

Modernization of aircrafts of the Polish Air Force after

Praca porusza problem modernizacji samolotów polskiego lotnictwa w późnym okresie PRL, w czasie transformacji ustrojowej, w okresie integracji z NATO do czasów obecnychAcademic work about modernization of planes of the Polish Air Force after 199

Isomorphic substructures in words and permutations

Tematem pracy są izomorficzne podstruktury w strukturach kombinatorycznych, które w skrócie nazywać będziemybliźniakami. Interesuje nas problem znajdowania maksymalnych dwóch rozłącznych podstruktur w danej strukturze, które są izomorficzne. Problem ten był szeroko omawiany dla grafów. Praca skupia się na rozważaniu analogicznego problemu dla słów oraz permutacji. Rozdział pierwszy dotyczy problemu bliźniaków w słowach, zarówno z teoretycznego jak i algorytmicznego punktu widzenia. Główne wyniki tego rozdziału pochodzą z pracy Axenovich, Persona i Puzyniny . Pokazano między innymi zaskakującetwierdzenie , że w słowie długości $n$ znajdziemy bliźniaki długości n/2-o(n). Dowód twierdzenia zapewnia algorytm znajdujący bliźniaki tej długości, w rozdziale załączono implementację tego algorytmu. Rozdział drugi poświęcony jest problemowi bliźniaków w permutacjach. Podano dolne i górne ograniczenia na długość bliźniakóww dowolnej permutacji zbioru n-elementowego. Głównymi narzędziami w dowodzie są twierdzenie Erdosa-Szekeresa, lemat lokalnyLovasza oraz metoda probabilistyczna. Zaimplementowane zostały również algorytmy wyszukujące bliźniaki w permutacjach.The main topic of the thesis are isomorphic substructures in words and permutations. We call them twins. We are interested infinding two maximal disjoint substructures in given structure. This problem has a long history for graphs. We investigate thisproblem for words and permutations.In Chapter one we consider twins in words form both theoretical and algorithmic point of view. The main results of this chapterare theorems of Axenovich, Person and Puzynina. They showed surprising theorem about maximal twins in word of lenth n. Moreprecisely they showed that in each word of lenth n there are twins of length at least n/2-o(n). Proof of this theorem gives an algorithm for finding such twins. We have implemented this algorithm.In Second Chapter we consider twins in permutations. We give lower and upper bound on length of twins in permutations of theset 1,2,...,n. The main tools which we used are Erdos-Szekeres theorem, Lovasz local lemma and probabilistic method. We alsoimplemented some algorithms which finds twins in permutations